MATH: กันยายน 2013

ตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ

ทบทวนสามเหลี่ยมคล้าย

1. สามเหลี่ยม 2 รูป ถ้ามีมุมเท่ากัน 3 มุม มุมต่อมุมแล้ว เราเรียก สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นว่าเป็น “ สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน”

2. ถ้าสามเหลี่ยม 2 รูปคล้ายกันแล้ว อัตราส่วนของความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากัน จะเท่ากัน

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมี AĈB = 90 องศา ถ้าเราพิจารณาที่มุม A

1. ด้าน AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก

2. ด้าน BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A

3. ด้าน AC เรียกว่า ด้านประชิดมุม A

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A

ข้อสังเกต

1. 0 < sin A < 1 และ cosec A > 1

2. 0 < cos A < 1 และ sec A > 1

3. sin ( A + B ) ¹ sin A + sin B

4. (sin A)(sin A) = (sin A)² = sin²A ¹ sin A²

5. sin A = cos ( 90 – A )

6. cos A = sin ( 90 – A )

7. tan A = cot ( 90 – A )

8. sec A = cosec ( 90 – A )

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 , 45 และ 60

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

นิยาม

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ การเท่ากันของอัตราส่วนตรีโกณมิติที่ต่างกันและเป็นจริงสำหรับทุกๆค่าขององศา

เมื่อกำหนด A เป็นมุมแหลม

1. sin A x cosec A = 1

2. cos A x sec A = 1

3. tan A x cot A = 1

4. cos A x tan A = sin A

5. cot A x sin A = cos A

6. sin²A + cos²A = 1

7. sec²A - tan²A = 1

8. cosec²A - cot²A = 1

เรียนรู้เรื่องตรีโกณมิติเพิ่มเติม

วีดีโอนี้นำเสนอเกี่ยวกับ สูตรที่ต้องใช้ในการเรียนตรีโกณมิติ และตัวอย่างในการใช้สูตร

ที่มา

http://www.kr.ac.th/ebook/suvantee/b5.htm

http://www.youtube.com/watch?v=XmyWvcirDHM
วันที่ 12 กันยายน 2556

คู่อันดับและกราฟ

คู่อันดับและกราฟ

1) คู่อันดับและกราฟ

ในชีวิตประจาวัน เรามักพบสถานการณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณอยู่เสมอ เช่น ระยะทางที่โดยสารรถประจาทางกับค่าโดยสาร ระยะทางที่ใช้ในการเดินทางกับเวลา ปริมาณของน้ำประปาที่ใช้กับค่าน้ำ เราสามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์เหล่านี้ในรูปตาราง แผนภาพ คู่อันดับ รวมทั้งการแสดงในรูปอื่น ๆ เช่น กราฟ

กราฟ (graph) คือ ภาพของจุดที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณของสองสิ่งโดยใช้ระบบแทนปริมาณด้วยระยะห่างจากเส้นตรงสองเส้น เส้นตรงแต่ละเส้น เรียกว่า แกน (axis)

ถ้าเส้นตรงทั้งสองตัดกันเป็นมุมฉาก เรียกระบบนั้นว่า ระบบแกนพิกัดฉาก(rectangular coordinate system)

2) ระบบพิกัดฉาก

ระบบแกนพิกัดฉาก

ระบบแกนพิกัดฉาก คือ ระบบที่บอกพิกัดของจุดด้วยระยะห่างจากแกนที่ตัดกันเป็นมุมฉากโดยปกติจะวางแกนทั้งสองในแนวระดับ และแนวดิ่ง

อักษรที่ใช้เป็นชื่อแกน นิยมใช้ X และ Y

1. แกน X อยู่ในแนวระดับ เรียกว่า แกนนอน ( horizontal axis )

2. แกน Y อยู่ในแนวดิ่ง เรียกว่า แกนตั้ง ( vertical axis )

3. จุดกำเนิด (origin) คือ จุดที่แกนทั้งสองตัดกันแทนด้วย อักษร O (โอ) O เป็นจุดเริ่มต้นของการนับระยะบนแกนทั้งสองใช้แทน ศูนย์ ( 0 ) ถ้านับมาทางขวาหรือขึ้น ข้างบนเป็นจานวนบวก ( positive) ถ้านับมาทางซ้ายหรือลงข้างล่าง เป็นจานวนลบ ( negative)

4. พิกัดร่วม (coordinate) คือตำแหน่งของจุดใดๆ บนระนาบของระบบซึ่งกำหนดด้วยระยะทางที่จุดนั้นอยู่ห่างจากแกนทั้งสอง โดยทั่วไปเราเขียนคู่อันดับใด ๆ ในรูป (x, y)เมื่อ x แทนจานวนที่อยู่บนแกน X และ y แทนจานวนที่อยู่บนแกน Y

x หมายถึง ระยะที่นับบนแกน X เรียกว่า ระยะระดับ (abscissa)

y หมายถึง ระยะที่นับบนแกน Y เรียกว่า ระยะดิ่ง ( ordinate)เพื่อแสดงตำแหน่งของคู่อันดับในระบบพิกัดฉาก ถ้าจุด P เป็นจุดบนระนาบที่มีคู่อันดับเป็น (x, y)จะกล่าวว่า P มีพิกัดเป็น (x, y) โดยที่ x เป็นสมาชิกตัวที่หนึ่ง และ y เป็นสมาชิกตัวที่สองและอาจเขียนแทนพิกัดของ P ด้วย P (x, y) เพื่อความสะดวกเรานิยมใช้กระดาษกราฟในการเขียนกราฟซึ่งจะช่วยในการอ่านกราฟได้ง่ายและถูกต้องยิ่งขึ้น

5. หน่วยบนแกนทั้งสอง บนแกนเดียวกันต้องใช้หน่วยเดียวกัน (ทั้งบวกและลบ) แต่หน่วยบนแกน X อาจใช้หน่วยต่างจากหน่วยบนแกน Y ได้ โดยปกติเราจึงอาจเลือกใช้หน่วยใน แต่ละแกนให้เหมาะสมได้

6. จุดที่แกนตัดกันเป็นจุด ( 0, 0) คือ x = 0, y = 0 ดังนั้นจุดกำเนิดหรือจุดO (โอ) จึงตรงกับจุดศูนย์ของแกนทั้งสอง จะเรียกว่าเป็นจุด O (โอ) หรือจุด 0 (ศูนย์) ก็ได้

3) สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับแกน X และ แกน Y

สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับแกน X และ แกน Y จะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วนแต่ละส่วนเรียกว่าจตุภาค (Quadrant)

จุด ...... และ ...... มีพิกัดอยู่ในจตุภาคที่ 1

จุด ...... และ ...... มีพิกัดอยู่ในจตุภาคที่ 2

จุด ...... และ ...... มีพิกัดอยู่ในจตุภาคที่ 3

จุด ...... และ ...... มีพิกัดอยู่ในจตุภาคที่ 4

4) คู่อันดับ

นักเรียนเคยพบการเขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองชุดโดยใช้กราฟ บนระนาบในระบบพิกัดฉากมาแล้ว กราฟที่นักเรียนรู้จักมีทั้งกราฟที่เป็นเส้นตรงและไม่เป็นเส้นตรงในหัวข้อนี้นักเรียนจะได้ศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับกราฟที่มีลักษณะเป็นเส้นตรง ส่วนหนึ่งของเส้นตรงหรือเป็นจุดที่เรียงอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันให้นักเรียนพิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 ในตารางต่อไปนี้